यदि {x_r} = cos(pi/3^r) - isin(pi/3^r) (जहाँ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि ${x_r} = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$.हमें गुणनफल $P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ज्ञात करना है।सम्मिश्र संख्याओं के

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$-i$

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(C) दिया गया है कि ${x_r} = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$.हमें गुणनफल $P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ज्ञात करना है।सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(\cos 	heta_1 - i\sin 	heta_1)(\cos 	heta_2 - i\sin 	heta_2) = \cos(	heta_1 + 	heta_2) - i\sin(	heta_1 + 	heta_2)$.अतः,$P = \cos(\sum_{r=1}^{\infty} \frac{\pi}{3^r}) - i\sin(\sum_{r=1}^{\infty} \frac{\pi}{3^r})$.यहाँ कोण में दिया गया योग एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $S = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{27} + \cdots$.यहाँ प्रथम पद $a = \pi/3$ और सार्व अनुपात $r = 1/3$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{\pi/3}{1 - 1/3} = \frac{\pi/3}{2/3} = \frac{\pi}{2}$ होता है।इसलिए,$P = \cos(\pi/2) - i\sin(\pi/2) = 0 - i(1) = -i$.

यदि ${x_r} = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$),तो $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

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